回溯算法之排列组合

回溯算法特点

回溯算法是一种暴力穷举算法
穷举的过程是遍历一颗多叉树的过程
回溯算法的框架和多叉树遍历相似

回溯算法框架

List<Value> result;
void backtrace(路径, 选择列表) {
    if (结束条件) {
    result.add(路径);
    return;
  }
  for (选择 : 选择列表) {
    做选择;
    backtrace(路径, 选择列表);
    撤销选择;

  }
}

多叉树遍历

void traverse(TreeNode root) {
    if (root == null) {
      return;
  }
  for (TreeNode child : root.children) {
      traverse(child);
  }
}

全排列问题

1，2，3，4 四个数字，给出全排列。按排列组合算法应该是4 * 3 * 2 * 1=24种。


import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

public class BackTrace {

    static List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();

    public static void main(String[] args) {

        permute(new int[]{1, 2, 3, 4});


        System.out.println(res);
        System.out.println(res.size());
    }

    /**
     * 主处理函数，输入一组不重复的数字，返回它们的全排列
     *
     * @param nums
     * @return
     */
    static List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        // 记录「路径」
        LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();

        backtrack(nums, track);
        return res;
    }


    /**
     * 路径：记录在 track 中
     * 选择列表：nums 中不存在于 track 的那些元素  -- not contains, then do it
     * 结束条件：nums 中的元素全都在 track 中出现  -- size比对
     *
     * @param nums  选择列表
     * @param track 多叉树的路径
     */
    static void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> track) {
        // 触发结束条件
        if (track.size() == nums.length) {
            res.add(new LinkedList(track));
            return;
        }

        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            // 排除不合法的选择
            if (track.contains(nums[i])) {
                continue;
            }

            // 递归前 做选择
            track.add(nums[i]);
            // 递归 进入下一层决策树
            backtrack(nums, track);
            // 递归后 取消选择
            track.removeLast();
        }
    }


}

或者这种写法，和组合类比：

public class Test {

    static List<List<Integer>> result = new LinkedList<>();
    static LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();

    public static void main(String[] args) {

        int[] arr = {1,2,3,4};

        boolean[] used = new boolean[arr.length];

        backtrace(arr, used);

        result.forEach(e -> System.out.println(e));
        System.out.println(result.size());

    }

    static void backtrace(int[] arr, boolean[] used) {
        if (arr.length == track.size()) {
            result.add(new LinkedList<>(track));
            return;
        }

        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            // 元素有了 continue
            if (used[i]) {
                continue;
            }
            track.add(arr[i]);
            used[i] = true;

            backtrace(arr, used);

            track.removeLast();
            used[i] = false;
        }
    }
}

组合子集问题

1，2，3 三个数字，给出各种组合情况。按排列组合算法应该是 C3,0 + C3,1 + C3,2 + C3,3 = 1+3+3+1 = 8种


import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

public class Subsets {

    List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();
    // 记录回溯算法的递归路径
    LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();

    public static void main(String[] args) {
        List<List<Integer>> subsets = new Subsets().subsets(new int[]{1, 2, 3});
        System.out.println(subsets);
    }

    // 主函数
    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        backtrack(nums, 0);
        return res;
    }

    // 回溯算法核心函数，遍历子集问题的回溯树
    void backtrack(int[] nums, int start) {

        // 前序位置，每个节点的值都是一个子集
        res.add(new LinkedList<>(track));

        // 回溯算法标准框架
        for (int i = start; i < nums.length; i++) {
            // 做选择
            track.addLast(nums[i]);
            // 通过 start 参数控制树枝的遍历，避免产生重复的子集
            backtrack(nums, i + 1);
            // 撤销选择
            Integer integer = track.removeLast();
            System.out.println(integer);
        }
    }

}

可复选的排列组合

给出的元素可以重复选择

可复选的排列

如 [1,2] 复选可以是 [1, 1] [1, 2] [2, 1] [2, 2]

去掉 boolean[] used 控制即可

static void backtrace(int[] arr) {
    // base case 结束条件
    if (track.size() == arr.length) {
        result.add(new LinkedList<>(track));
        return;
    }
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        track.add(arr[i]);
        
        backtrace(arr);
        
        track.removeLast();
    }
}

可复选的组合

使用 i ，而不是 i + 1 控制可复选，但复选时要注意base case 控制结束条件，避免无限制递归。

static void backtrace(int[] arr, int start) {
    // base case 结束条件，比如只选两个元素
    if (track.size() == 2) {
        result.add(new LinkedList<>(track));
        return;
    }
    for (int i = start; i < arr.length; i++) {
        track.add(arr[i]);
        // i 允许重复，i+1 不允许
        backtrace(arr, i);
        // backtrace(arr, i + 1);
        track.removeLast();
    }
}

算法