计算机加法器原理
了解加法器原理之前，先介绍下继电器和门电路。
继电器
继电器我们并不陌生，在高中物理我们都学习过它。原理就是电和磁，利用电磁铁控制开关。 继电器的一个很大用处在于可以通过电流控制而非人工控制。利用多个继电器可以实现多种逻辑门电路。
继电器图例：闭合开关后，会让灯泡变亮
逻辑门
利用多个继电器，我们来实现各种逻辑门。
与门
| AND | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
两个继电器串联：
只有当两个开关都关闭的时候，灯泡才能亮。这就是与门。
与门的简单符号：
或门
| OR | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
两个继电器并联：
关闭一个或者两个都能让灯泡变亮。这就是或门。
或门的简单符号：
逻辑反
开关断开，灯泡亮；关闭开关后，灯泡就灭了。
这种继电器就是反向器。（反向器不是逻辑门，一个逻辑门通常有两个或多个输入）。
逻辑反的简单符号：
或非门
| NOR | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
两个开关均断开，灯泡亮。闭合任一个或者都闭合，灯泡灭。 这就是或非门。
或非门的简单符号：或门加一个取反器标识
与非门
| NAND | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
闭合一个或者都断开，灯泡亮；两个开关均闭合，灯泡灭。这就是与非门。
与非门的简单符号：与门加一个取反器标识
还有一个异或门，我们在加法器中介绍。
二进制加法器
0、1 二进制相加
| + | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 00 | 01 |
| 1 | 01 | 10 |
从中可以看出，1bit的0 1相加，最多会产生两个bit。把低位叫做加法位（sum bit），高位叫进位位(carry bit)。
分别看一下加法位和进位位：
进位位：
| 进位位 | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
进位位中只有两个输入都是1，才会有进位1。这和前边介绍的逻辑与门的结果是一样的。
加法位
| 加法位 | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
加法位的输入输出和前边介绍的逻辑门并不相同。仔细观察，它和或门相似，除了右下角的输出不一致；它和与非门也相似，除了左上角的输出不一致。
我们把每个具体的case罗列出来，和加法位的输出放在一起分析下：
| 输入A | 输入B | 或门输出 | 与非门输出 | 加法位输出 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
我们把或门输出再当做输入A1，与非门输出当做输入B1，那么两者的与操作就是加法位输出了。
也就是或门器件并联与非门器件，再串联到与门器件即可。用简单的器件图示：
实际上加法位的输入输出结果就是另一个逻辑门：异或门。
简单表示：
半加器
从上边介绍的加法位和进位位两个元件，我们就可以开始计算两个二进制数相加了。
这个被称作半加器(Half Adder)。
因为目前它还只是实现单个bit相加。如果多个bit相加，需要多个半加器连接。
全加器
如图是两个半加器相连组成的全加器（Full Adder）：
半加器A中的加法位，和进位输入，连到半加器B。最终的进位输出是利用或门，这里比较有趣。这是因为两个半加器中的进位位不能同时为1。
半加器输出的进位位和加法位不会同时为1（只有输入A和输入B都是1，进位位才是1，并且此时加法位是0）。因此假设半加器A中的CO是1，那么S一定是0，这样半加器B的CO也只能是0，所以两个半加器中的CO同样不可能同时为1。因此一个或门就可以表示最终的进位输出了~
全加器的简单表示图：
下面是8位的加法器，利用8个全加器实现如图：
同理16位加法器也一样道理，两个8位加法器级联起来即可。
好了，现在我们再来看看，实现一个8bit的加法器需要多少个继电器元件？
一个半加器需要一个加法位和进位位：加法位是异或门（或门、与非门、与门），需要2*3=6个继电器；进位位是一个与门，需要2个继电器。所以一个半加器需要8个继电器元件。一个全加器是两个半加器，就是16个，8bit的全加器就是16*8=144个继电器元件。
以上这些对继电器、逻辑门、半加器等知识的介绍即是现代计算机加法运算的基本原理。
当然也有些许不同：
- 从现在搭建的8位加法器，我们知道它的总体速度等于全加器件的速度乘以位数，这被称作行波进位（ripple carry）。现代更快的加法器运用一个被称为『前置进位』的电路来提高速度。
- 目前计算机的电子元件已经都是晶体管了，了解计算机硬件发展史知道，继电器后来被真空管替代，真空管被晶体管代替。他们工作方式基本相同，晶体管计算速度更快，体积更小，噪音小，功耗弱，也更便宜。因为工作原理相同，晶体管做8位加法器仍然也要需要144个元件。
参考：
- 《编码》