计算机怎么表示有符号数和浮点数

有符号数就是我们说的带有正负号的数；浮点数即是小数，区别于定点数。

虽然我们日常编程中经常和他们打交道，但很难说我们对它理解的有多好，计算机内部是怎么表示的负数、浮点数呢？ 尤其浮点数，我们非常熟悉但又恐惧。熟悉是因为我们开发工作中比如和钱打交道时，会涉及到浮点数运算；说到恐惧，是我们经常会遇到的精度问题.. 比如一个计算结果我们预期得到的4.0，怎么就莫名其妙的变成了3.999999。 一般我们会说计算机用的二进制表示，表示小数可能会产生误差。

实际上浮点数在计算机知识范畴里的确也是比较难理解的一块，很多有经验的程序员也不一定对它理解的好。

说到有符号或者浮点数之前，还要有很多工作要做。先概要说明信息是如何在计算机中存储的以及周边知识点。

信息存储：

每台计算机都有字长（word size），字长决定了虚拟地址空间的最大大小。对于一个字长为w位的机器而言，虚拟地址范围为0~2^w -1，程序最多可访问2^w个字节。内存寻址的基本单位是字节。

比如32位机器，虚拟地址空间即是0-2^32 -1，最大可以访问4GB（2^32 Byte）。

大多数64位机器也能运行给32位机器编译的程序，这是向后兼容。我们所说的32位程序还是64位程序，指的是该程序是如何编译的，而不是说它运行的机器类型。

有符号的整数，表示负数、整数、0，无符号的就是非负数。

多字节对象通常都是存储为连续的字节序列。一个int类型占用4个字节（比如首地址是0x100），那么占用内存情况就是0x100，0x101，0x102，0x103四个字节。

大端序、小端序列之前专门写过，再简单啰嗦下：大端序是高有效位在内存低位，小端序反之。

表示字符串，由字符数组和结尾符号组成。每个字符需要一种编码。参考ASCII、Unicode。

一段相同的代码在不同机器编译环境下，得到的机器代码是不同的（拿windows编译后的二进制程序，没法直接跑在一个linux系统上）。从机器角度看，程序仅仅是字节序列。

布尔代数

位向量

布尔运算扩展到位向量的运算。位向量：一个固定长度w，由0和1组成的数组。

比如长度w=4的两个位向量：

位向量一个重要的应用比较广的就是用来表示有限集合。1表示该位有这个数字。

举个列子，w = 8的两个位向量：

比如IO多路复用中，select的文件描述符集合里，最大1024，用的就是位向量。

移位运算

前提：x由w位组成

左移：x向左移动k位，丢弃高k位，并在右端补k个0。移位量在0~ w-1

右移：比较复杂，区分有符号和无符号，有逻辑右移和算术右移。【需要着重再看 算数右移和逻辑右移】todo

整数表示

编码整数两种方式，一种是无符号的非负整数，一种是带符号的负数、正数、零。

无符号整数的编码

用位向量表示无符号整数。二进制转成无符号的编码：

B2U( [1011] ) = 1*2^3 + 1*2^1 + 1*2^0  = 11

显然，位向量是w位的，最小值是0，最大值是2^w -1。 二进制位向量到无符号整数的关系是一一映射。每个介于0~ 2^w -1的非负整数都能由w位的位向量唯一表示，反之一样。

有符号整数编码 补码编码

对于负整数的表示，最常见的编码方式就是补码（two’s-complement）。补码中，字的最高有效位是负权（negative weight）。负权的含义有两个，一个是负号，一个是权重，注意它不是单单的一个负号，而是有权重的，理解这个很重要。 最高位是1表示负数。

B2T表达式中第一项即是负权的含义。举个例子很好理解。

B2T( [1011] ) = -1*2^3 + 1*2^1 + 1*2^0  = -5

B2T( [0011] ) = -0*2^3 + 1*2^1 + 1*2^0  = 3 

补码表示的最大最小值（字长w位）： 最大（当然是正数，最高有效位是0）值，除了最高有效位其余都置为0，即是 2^(w-1) -1。

最小值（从公式看很容易得出）最高有效位是1，其它都是0，即是 -2^(w-1)。 比如w=4：

从数学上可以证明，补码的编码也是一一映射，互相唯一表示。这也是为什么补码编码中负数比整数（绝对值）大1。

这样理解补码似乎很刻板，换一个角度，我们从求和的角度看补码。 假设使用1个字节来表示一个自然数，高位是符号位。

我们来看一下，如果不用补码来表示负数，比如高有效位只是一个符号位。那么计算一下 1+（-1）

相加结果解释成了-2，这样表示负数在计算加法时会带来这种问题。 同时这种表示法，在对0的处理上也会出现+0和-0的区别。

下面仍然拿1来举例，现在有-1，自然1和-1相加是0。我们知道如果对1求反的话，两者相加是全1。

对全1再加一个1，就会溢出，因为只能用一个字节表示，结果就是0。 因此-1就是1的反码再加1，即全1：1111 1111 。其他整数也是一样，反码+1就是补码。

可以看到补码表示负数贴合了加法计算。 通过这个例子再理解补码的公式就明白多了。

实际上，计算机表示这些有符号数通常正是采用补码。

定点数

在介绍浮点数之前，我们先来说一下与之相对的定点数。定点数就是说小数点在这个小数里是固定位置的，比如后边的小数位固定就是两个。 这里使用BCD编码说明下定点数。

BCD（Binary-Coded Decimal）

用4位二进制数来表示1位十进制数中的0~9这10个数码，是一种二进制的数字编码形式。(当然二进制表示最少要用4位)

BCD编码来表示，相当于1个字节（8位）表示两个十进制数。这样，为了表示符号位，需要多用掉4位或者8位。 例如表示一个小数 123.45 需要用3个字节，-1234.56 需要用4个字节

这种定点数表示法，如用来表示一个很小的小数到很大的数范围，就需要用更多字节来存储。比如为了表示0.00000000012 ~ 123456789000，需要用到12个字节表示一个数。

浮点数

科学记数法

学过数学我们知道，可以用科学记数法来表示一个大数或者很小的数，这样能省去写很多0。

这里有几个概念，4.9 和 1.2 我们称做尾数或者有效数，11 和 -10 称为指数。 一般规定有效数的范围是1~10，这种写法属于规范化式。

类比十进制

十进制小数拆解： 123.45 = 1*10^2 + 2*10^1 + 3*10^0 + 4*10^(-1) + 5*10^(-2)

同样道理的二进制小数拆解： 101.11 = 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 + 1*2^(-1) + 1*2^(-2)

类比十进制我们用科学记数法来表示二进制小数。

101.11 = 1.0111 * 2^2

十进制中规范化式有效数的范围是1~10，同样二进制也是1~10(二进制的2)，也就规定只能是1. 开头。

IEEE标准

在计算机发展之初，各家厂商都是自搞一套浮点数处理，不同厂商不同标准，这也带来了各种各样的问题。需要一个共同标准的约束，目前绝大部分计算机在处理浮点数都是遵循IEEE 754-1985标准，该标准于1985年制定，由数学家William Kahan领导制定，为表彰William Kahan在浮点数标准做出的杰出贡献，他在1989年获得了图灵奖。

IEEE浮点数标准制定了两种基本格式：4个字节表示的单精度格式，和8个字节表示的双精度格式。

把浮点数表示按照科学记数法拆分成3个部分。符号位、指数位、有效位。

单精度

单精度4个字节表示，拆分成如下：

有效位： 前边说过规范式表达，有效位固定以 1.xxx 开头，这样计算机就可以默认它存在，而不需要再多余存储它，转而可以让这一位多存储一个有效位。这也就是为什么说23个有效位是24位的精度。

指数位：指数位这块刚开始接触可能不好理解，它还要减去一个偏移量Bias。 计算机存储的指数位表示的是正数，8位指数能表示的范围即是0~255，减去一个偏移量是编码后的值。 Bias = 2^(e-1)-1 对于单精度格式来说e=8，这个偏移量是127。 注意：如果上下文只说指数，那它只代表e： 0~255的范围。编码后的指数是： e-Bias

指数是0和255这两个特殊值时，是有专门的含义。如果是1~254，可以用这样的数学式子描述表达的浮点数值。

数学表达式： (-1)^s* 1.f * 2^(e-127)

s符号位，1表示负数，0表示正数。数学式子 (-1)^s 正好表达了这个意思。

指数是0或者255的特殊case：

表达的范围

通过以上常规和不常规，我们能得到单精度浮点数表达的范围。

转成十进制，近似为 1.175410^(-38) 和 3.402810^38 。

表达的精度

切记，精度不等同于范围，完全是两个概念。 有效位体现的是精度。 23位的有效位长度，能表达的我们平常理解的十进制是多大呢？

我们熟记的式子: 2^10 = 1024 ，可以理解成 10个长度的二进制能表达3个数量级长度的十进制。 那么24位二进制，差不多就是7个数量级的十进制。 2^24 = 16777216，表示精度是 1/16777216 。说白了就是单精度在表达16777216和16777217上，计算机内部存储是一样的。 具体来看下：

# 16777216 在计算机内部存储为：
1.00000000000000000000000 * 2^24
# 如果给这个单精度数，再往上加一个最小单位，即是最低的23位0变成1。
1.00000000000000000000001 * 2^24
拆解后：
1*2^24 + 1*2^(-23)*2^24 = 16777216 + 2 = 16777218

#include <stdio.h>
int main(){
    float a = 16777217;
    printf("%.2f\n", a);// 16777216.00
}

显然，16777216 ~ 16777217之间的浮点数在单精度下计算机内部存储都一样。这就是它能表示的精度。而16777218 也是能正好表达出来的，再次说精度和范围是两个概念。

指数不同，表达精度也不同。再举个例子： 2^18 = 262144 2^(-5) = 1/32 = 0.03（约）

# 262144.00 在计算机内部存储为：
1.00000000000000000000000 * 2^18
# 如果给这个单精度数，再往上加一个最小单位，即是最低的23位0变成1。
1.00000000000000000000001 * 2^18
拆解后：
1*2^18 + 1*2^(-23)*2^18 = 262144 + 1/32 = 262144.03

#include <stdio.h>
int main(){
    float a = 262144.01;
    float b = 1;

    printf("%.2f\n", a);// 262144.00
    printf("%.2f\n", b);
    printf("%.2f\n", a+b);// 262145.00
}

262144.01 在单精度情况下和 262144.00在计算机内部存储是一样的。

这就是为什么我们在浮点数运算的编程中，经常遇到丢精度，不符合预期的情况发生。

双精度

单精度格式的精度不高，还有双精度来帮忙。双精度是用8个字节表示一个数，更多的有效位也有更高的精度。 64位拆分成如下：

偏移量 Bias = 2^(e-1) -1 = 1023。

数学表达式： (-1)^s* 1.f * 2^(e-1023)

规则和单精度一样，特殊case，e=0和2047。

转成十进制，近似为 2.22510^(-308) 和 1.79710^308。

双精度在精度上比单精度要高，但是毕竟也是有限的有效位，避免不了不同的数的内部存储一样的问题。

OK~ 就到这里吧。

参考

• 《编码-隐藏在计算机背后的语言》
• 《CSAPP》

这里墙裂安利 《编码-隐藏在计算机背后的语言》这本书。写的非常精彩，循循善诱，介绍了计算机的本质，CPU是怎么运行的。看过之后，让你对计算机底层的东西不再恐惧。

• 基础